관성모멘트와 실험

사진 출처 : 네이버 백과사전

관성 모멘트란 회전축을 중심으로 회전하는 물체가 계속해서 회전을 지속하려고 하는 성질의 크기를 나타낸 것이다. 외부에서 작용하지 않는다면 관성 모멘트가 클 수록 각속도가 작아지게 된다.

회전하는 강체의 각 부분의 질량질점  m1, m2, m3 등등에 회전축으로부터 그 부분질점까지의 거리 r1, r2, r3의 제곱을 곱하고 그들 모두를 합한 양을 I라고 할 때

I = m1r1^2 + m2r2^2 + m3r3^2 + ...

가 되며, 이 I를 그 축에 대한 관성 모멘트라 한다. 관성 모멘트는 축 둘레의 질량 분포에 따라 정해지는데, 강체의 질량이 회전축으로부터 떨어져서 분포하고 있을수록 크다. 또한 물체에 따라 관성 모멘트의 값은 다르다.

플라이휠의 주변부를 크게 하는 것은 이 관성 모멘트를 크게 하기 위한 것이다. 또, 각속도를 w, 회전운동의 에너지를 E, 관성 모멘트를 I라 하면.

E = 1/2 * Iw^2

의 관계가 성립된다. 회전 에너지는 외부로부터 힘이 작용하지 않는 한 변하지 않으므로, 회전 도중에 관성 모멘트가 변화하면 각속도가 변한다는 것을 알 수 있다. 관성 모멘트를 강체를 매달아 여기에 회전을 가함으로써 측정할 수 있는데, 형태가 간단한 경우에는 계산에 의해서도 구할 수 있다. 관성 모멘트의 개념은 고전적인 강체뿐만 아니라 분자나 변형된 원자핵의 회전에 대해서도 중요하다.

참고 문헌 : 광운대학교 전자물리학과 일반물리학

필자는 이 위 내용의 이해를 돕기 위해 전자물리학과의 실험을 인용하였다.

실험 준비물

스탠드, 포토 게이트 타이머, 관성 모멘트(회전 장치), 원판(1430g, 12cm), 원통(1380g, 내경 5.37cm, 외경 6.34cm), 도르래, 추(100g), 낚시줄, 채널 케이블, 포토 게이트, 파워 케이블

실험 방법
1. 관성모멘트 측정 장치 설치
도르래, 원판, 원통, 추, 낚시줄을 이용하려 회전 장치를 설치한다.
스탠드에 포토게이트를 나란하게 고정시키고 추가 센서를 지나도록 설치한다.
채널 케이블을 사용하여 포토게이트와 포토게이트 타이머를 연결시킨다.

2. 추의 낙하거리 측정
추의 낙하거리는 두개의 포토게이트 사이의 거리이다.

3. 회전축의 관성모멘트 측정
-이론계산 관성모멘트
 원판 I = 1/2 * MR^2 (M은 원판의 질량, R은 원판의 반지름)
 원통 I = 1/2 * M(R1^2 + R2^2) (M은 원통의 질량, R1은 내경, R2는 외경)
-에너지 보존 법칙
 질량 m인 추가 정지상태로부터 높이 h만큼 떨어지는 동안 에너지 보존 법칙을 적용하면 다음의 식을 만족한다.

mgh = 1/2 * Iw^2 + 1/2 * mv^2

v = rw

mgh = 1/2 (I/r^2 + m)v^2

(v는 낙하하는 추의 속력이며, r은 낚시줄이 감긴 회전축의 반지름이다)
질량 m인 추는 가속도 a로 등가속도 운동하므로 나중 속도는 v = at , 이동거리 h = 1/2 * at^2 이다. 이 두식으로부터 v = 2h/t 을 대입하면

I = (gt^2/2h - 1)mr^2

(m은 포토 게이트를 통과하는 추의 무게, h는 질량 m인 추의 낙하거리, t는 질량 m인 추가 높이 h를 낙하하는데 걸린 시간이다)
실험을 통해 낙하거리 h와 낙하시간 t를 측정함으로써 실험적으로 관성모멘트 I를 알 수 있고 이렇게 구한 실험값과 이론값을 비교해보자.

4. 원판, 원판+원통으로 관성모멘트에 변화를 주고 실험을 반복한다.
 조건에 따라 속도가 어떻게 변하는지 살펴보고 관성모멘트를 측정해보자.

필자는 원판의 관성 모멘트 이론값이 102690 이 나왔다.
원판+원통의 경우에는 96991.084 가 나왔다.

실험값은 원판의 무게, 원판의 반지름이나 원통의 내경, 외경에 따라서 달라질 수 있다. 필자는 이론값의 원판 무게와 실험값의 원판 무게를 같게 하여 관성 모멘트 값이 같게 나왔다.

여러분들도 한번씩 해보길 바란다.